EJERCICIO 1

$$Dada la siguiente ecuación factorizada:
\[
(x – 2)^3 (x + 1)(x – 4)^2 = 0
\]
Se pide calcular el valor de

\textbf{«A + B»}, donde:
\begin{itemize}
\item \textbf{A}: Representa el número de raíces.
\item \textbf{B}: Representa el número de soluciones.
\end{itemize}

\hrulefill

\subsection*{Paso 1: Determinar el valor de «A» (Número de Raíces)}
El número total de raíces de un polinomio (contando su multiplicidad) es igual a la suma de los exponentes de cada factor en la ecuación.

Analizando los exponentes:
\begin{itemize}
\item Para el término $(x-2)$, el exponente es $3$.
\item Para el término $(x+1)$, el exponente es $1$ (tácito).
\item Para el término $(x-4)$, el exponente es $2$.
\end{itemize}

Calculamos $A$:
\[
A = 3 + 1 + 2
\]
\[
\boxed{A = 6}
\]
\textit{(Nota: Esto indica que el polinomio es de grado 6)}.

\subsection*{Paso 2: Determinar el valor de «B» (Número de Soluciones)}
El número de soluciones se refiere a la cantidad de \textbf{raíces distintas} o valores únicos que satisfacen la ecuación (el conjunto solución).

Igualamos cada factor a cero para encontrar los valores únicos:
\begin{align*}
1.\quad x – 2 &= 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \\
2.\quad x + 1 &= 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \\
3.\quad x – 4 &= 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4
\end{align*}

El conjunto solución es $\{2, -1, 4\}$. Al contar los elementos, obtenemos $B$:
\[
\boxed{B = 3}
\]

\subsection*{Paso 3: Cálculo Final}
Finalmente, sumamos los valores obtenidos:
\[
\text{Resultado} = A + B
\]
\[
\text{Resultado} = 6 + 3
\]
\[
\boxed{9}
\]

$$