Polinomios

Dados los polinomios $P(x) = 3x^2 – 5x + 2$ y $Q(x) = x^2 + 4x – 7$, calcula la suma $P(x) + Q(x)$
Solucion
Agrupamos los términos semejantes (misma variable y exponente).

• Términos cuadráticos: $$3x^2 + x^2 = 4x^2$$
• Términos lineales: $$-5x + 4x = -x$$
• Términos independientes: $$2-7=-5$$

Resultado final:
$$P(x) + Q(x) = (3x^2 + x^2) + (-5x + 4x) + (2 – 7) = 4x^2-x-5$$

Dados $A(x) = 5x^3 – 2x + 1$ y $B(x) = 2x^3 – 4x^2 + 3$, calcula $A(x) – B(x)$.
Solucion
1. Escribimos la operación cambiando el signo del segundo polinomio (ley de los signos).
$$A(x) – B(x) = (5x^3 – 2x + 1) – (2x^3 – 4x^2 + 3)$$ $$= 5x^3 – 2x + 1 – 2x^3 + 4x^2 – 3$$ 2. Agrupamos términos semejantes:
* Grado 3: $5x^3 – 2x^3 = 3x^3$.
* Grado 2: $+ 4x^2$.
* Grado 1: $-2x$.
* Independientes: $1 – 3 = -2$.

Resultado final:
$$A(x) – B(x) = 3x^3 + 4x^2 – 2x – 2$$

Realiza la siguiente multiplicación:
$$3x^2(2x^3 – 5x + 4)$$
Solucion
Aplicamos la propiedad distributiva:
multiplicar el monomio $3x^2$ por cada término dentro del paréntesis.

• $3x^2 \cdot 2x^3 = 6x^{2+3} = 6x^5$
• $3x^2 \cdot (-5x) = -15x^{2+1} = -15x^3$
• $3x^2 \cdot 4 = 12x^2$

Resultado final:
$$6x^5 – 15x^3 + 12x^2$$

Multiplica los siguientes binomios:
$$(2x – 3)(x + 5)$$
Solucion
1. Utilizamos la propiedad distributiva (o la regla «todos con todos»).
$$= 2x(x + 5) – 3(x + 5)$$ 2. Distribuimos el primer término:
$$= (2x \cdot x) + (2x \cdot 5) – (3 \cdot x) – (3 \cdot 5)$$ 3. Realizamos las operaciones:
$$= 2x^2 + 10x – 3x – 15$$ 4. Reducimos términos semejantes ($10x – 3x$):
$$= 2x^2 + 7x – 15$$
Resultado final:
$$2x^2 + 7x – 15$$

Factoriza el siguiente polinomio:
$$x^2 + 6x + 9$$
Solucion

1. Identificamos si cumple las condiciones de un trinomio cuadrado perfecto:
   • El primer término es un cuadrado perfecto: $\sqrt{x^2} = x$.
   • El último término es un cuadrado perfecto: $\sqrt{9} = 3$.
   • El término central es el doble producto de las raíces: $2 \cdot x \cdot 3 = 6x$.
2. Como cumple la forma $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$, entonces: $$a = x$$ $$b = 3$$

Resultado final:
$$(x + 3)^2$$