Exponentes

Ejercicio 1.1 Multiplicacion de monomios

Simplificar: $3x^2 \cdot 5x^4$

Solución:
1. Agrupamos los coeficientes numéricos y las variables por separado:
\[
(3 \cdot 5) \cdot (x^{2} \cdot x^{4})
\]

2. Multiplicamos los números $(3 \cdot 5 = 15)$.

3. Para las variables con la misma base, sumamos los exponentes $(2 + 4 = 6)$:
\[
15 \cdot x^{2+4}
\]

4. Resultado:
\[
\begin{align*}
3x^2 \cdot 5x^4 &= (3 \cdot 5) \cdot (x^2 \cdot x^4) \\
&= 15 \cdot x^{2+4} \\
&= 15x^6
\end{align*}
\]

Ejercicio 1.2 División de potencias y exponentes negativos

Simplifica la siguiente expresión dejando el resultado con exponentes positivos:
$$\frac{15a^5}{3a^{-2}}$$
Solución:
1. Separamos los coeficientes numéricos de las variables: $$\frac{15}{3} \cdot \frac{a^5}{a^{-2}}$$
2. Simplificamos los números: $$15 \div 3 = 5$$
3. Aplicamos la ley de cocientes $a^m / a^n = a^{m-n}$: $$a^{5 – (-2)} = a^{5+2} = a^7$$.
4. Multiplicamos el coeficiente por la variable:
Resultado final:$$5a^7$$

Ejercicio 1.3 Potencia de un producto

Simplifica la siguiente expresión $$(2x^2 y^3)^3$$
Solución:
1. Aplicamos la ley de potencia de un producto $(ab)^n = a^n b^n$. Debemos elevar cada factor dentro del paréntesis al exponente 3.
2. Elevamos el coeficiente numérico: $$2^3 = 8$$
3. Elevamos la variable $x$: $$(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$$
4. Elevamos la variable $y$: $$(y^3)^3 = y^{3 \cdot 3} = y^9$$
5. Multiplicamos los resultados:
Resultado final:$$8x^6 y^9$$

Ejercicio 1.4 Operaciones combinadas

Simplifica la siguiente expresión $$\frac{(x^2 y)^3 \cdot x^{-2}}{y^4}$$
Solución:
1. Desarrollamos el paréntesis $$(x^2 y)^3 = (x^2)^3 \cdot y^3 = x^6 y^3$$
2. Sustituimos en la expresión original: $$\frac{x^6 y^3 \cdot x^{-2}}{y^4}$$
3. Multiplicamos en el numerador (sumamos exponentes de $x$): $$x^{6 + (-2)} = x^4$$ Queda: $$\frac{x^4 y^3}{y^4}$$
4. Dividimos las variables $y$ (restamos exponentes): $$y^{3-4} = y^{-1}$$
5. La expresión es $x^4 y^{-1}$. Para escribirlo con exponente positivo, pasamos $y$ al denominador:

Resultado final:$$\frac{x^4}{y}$$

Ejercicio 1.5 Exponente cero y simplificación completa

Simplifica la siguiente expresión $$\frac{5x^0 y^{-2}}{(xy)^2}$$
Solución:
1. Recordamos que todo número elevado a la potencia 0 es 1 ($x^0 = 1$). Entonces el numerador es $$5 \cdot 1 \cdot y^{-2} = 5y^{-2}$$
2. Desarrollamos el denominador: $$(xy)^2 = x^2 y^2$$
3. Reescribimos la fracción: $$\frac{5y^{-2}}{x^2 y^2}$$
4. Aplicamos la regla de exponentes negativos: $$y^{-2} = \frac{1}{y^2}$$
5. La expresión se convierte en: $$5 \cdot \frac{1}{y^2} \cdot \frac{1}{x^2 y^2}$$
6. Simplificamos las letras $y$: $$\frac{1}{y^2} \div y^2 = \frac{1}{y^2 \cdot y^2} = \frac{1}{y^4}$$

Resultado final:$$\frac{5}{x^2 y^4}$$